4.- Giroscopio de Lagrange

 

a)      Características: giroscopio simétrico (  ). El peso es la única fuerza aplicada.

 

b)     Ecuaciones del movimiento: (aplicando el formalismo de Lagrange)

    (hállela)

 

 Luego:

 

 

Estas tres integrales primeras son las ecuaciones diferenciales del movimiento.

 

c)      Movimiento unidimensional equivalente:

 

luego:  

ó bien:   que es la ecuación del movimiento unidimensional equivalente en la que:

 

Si: a)  (  y  son los valores absidales de θ durante el movimiento) b)  Movimiento imposible. c)  (a este movimiento se le llama estacionario y en él  )

 

d)     Interpretación geométrica: (de acuerdo con los valores de E’, A y B)

Consideramos la trayectoria del punto de corte del eje de rotación propia con una superficie esférica cuyo centro sea el punto fijo.

1)  

¨       Si  como  ,  no cambia de signo durante el movimiento.

¨       Si  existirá un ángulo  tal que  por lo que:

 

En estas circunstancias pueden suceder cuatro posibilidades:

            a)  

            b)  

en estos dos casos  tampoco cambia de signo y la trayectoria en la superficie esférica es similar al caso de  

	c)    cambia de signo cuando  y la trayectoria es la dada por la figura de la izquierda.
	d)    no cambia de signo pero es cero cuando

Este último movimiento, aunque parezca muy particular, es el que aparece cuando se hace girar el giroscopio alrededor del eje de revolución, inicialmente en reposo, con una ω y luego se abandona libremente a sus enlaces. Con estos requisitos resulta que, llamando  al ángulo formado por los ejes Oz (fijo en el espacio) y OZ (eje de revolución, que es el de rotación propia):

                                        (¿por qué?)

Y por tanto:    luego:

   y de aquí se deduce (¡hágalo!) que  y además que siempre (en este caso particular)  (demuéstrelo).

Lo que manifiesta que una trayectoria como la mostrada en la figura siguiente no es posible:

 

e)      Movimiento estacionario:

Se llama movimiento estacionario aquél en el cual E’ = valor mínimo de .

Las ecuaciones del movimiento del giroscopio de Lagrange son:

 

Llamando  el ángulo para el cual el  es mínimo:

              y además:  

De esta última ecuación se deduce (hágalo) que:

    (a)

por lo que para un valor predeterminado de  es posible prefijar arbitrariamente una de las dos constantes A ó B: esto es, que existen infinitas posibilidades de obtener un movimiento estacionario en el que .

Si prefijamos B resulta que:

             

             

Por lo que la ecuación (a) se convierte en: (haga las operaciones)

               y de aquí se deduce que:

                 (b)

Lo que manifiesta que existen dos velocidades de precesión asociadas a ese movimiento estacionario: una rápida (la que corresponde al signo + ) y otra lenta.

El valor de la rotación propia  asociado a cada una de estas velocidades se obtiene fácilmente pues:  

Y finalmente, las E’ valen:

                         

 

f)       Movimiento estacionario con grandes velocidades de rotación propia:

Si  fuera muy grande  . La ecuación (b) podría reducirse a:

   (¿por qué?)   Y de aquí:

     (¿por qué?)   Y:

   (¿por qué?)  

donde  es el momento del peso del giroscopio respecto del punto fijo.