FAQ Mecánica de Fluidos.
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Regímenes de flujo laminar y turbulento

Las ecuaciones que rigen el régimen laminar de flujo son las mismas que en el flujo turbulento, las denominadas ecuaciones de Navier-Stokes que para un flujo de un fluido newtoniano e incompresible son:

(1)

Las incógnitas de estas ecuaciones son el campo de velocidades y el de presiones .

El régimen laminar se caracteriza por un movimiento ordenado de las partículas de fluido, existiendo unas líneas de corriente y trayectorias bien definidas. En el régimen turbulento las partículas presentan un movimiento caótico sin que existan unas líneas de corriente ni trayectorias definidas.

En cuanto al campo de velocidades de uno u otro régimen, si en un punto de un campo de flujo se hiciera una medida del valor de una variable de campo (por ejemplo de la componente de la velocidad en dirección X) se obtendría que en régimen laminar ésta presenta un valor bien definido que es constante en el tiempo si las condiciones de contorno del flujo son estacionarias o presenta una ordenada variación temporal si las condiciones de contorno varían en el tiempo. En el régimen turbulento en cambio las variables de flujo presentan una variación temporal, aún cuando las condiciones de contorno del flujo sean estacionarias, muy rápida y aleatoria en un amplio rango de frecuencias (se han medido rangos entre 0 y 10000 Hz).

Figura 1. Regimenes laminar y turbulento

El intentar obtener una solución a las ecuaciones del flujo en régimen turbulento esta fuera del alcance del análisis matemático y el cálculo numérico actuales. De forma similar a la teoría cinética donde se estudia el movimiento de infinidad de moléculas hay que recurrir a un estudio estadístico de la turbulencia trabajando con propiedades promedio. Una posibilidad de promediar las variables de flujo es considerar que en un punto del campo las variables vienen dadas como la suma de un valor promedio y una fluctuación turbulenta:

(2)

El valor promedio temporal de una variable se obtiene de la forma:

(3)

Siendo T un periodo tal que el valor promedio obtenido es independiente de este valor. T es mucho más pequeño que la variación del valor promedio de forma que éste último podrá depender del valor del tiempo alrededor del cual se toma el promedio pero no de la amplitud elegida para realizarlo.

De la definición de las variables promedio se deduce que:

(4)

Aunque los valores promedios de las fluctuaciones sean cero no es cierto que el promedio del producto de dos fluctuaciones lo sea, por ejemplo:

(5)

Una vez que se ha definido la manera de promediar, se toman valores promedio en las ecuaciones de Navier-Stokes.

(6)

Aquí no se va a entrar en el detalle del resultado obtenido al realizar estos promedios (para ello puede consultarse la bibliografía) pero decir que las ecuaciones que se obtienen son:

(7)

La ecuación de la continuidad tiene el mismo aspecto sólo que en lugar del campo de velocidades aparece el campo de velocidades promedio. La ecuación de la cantidad de movimiento presenta, además del cambio de las velocidades instantáneas por las promedio, la aparición de un nuevo término, unas tensiones adicionales que se denominan tensiones turbulentas de Reynolds. Estas tensiones cuantifican la influencia de la fluctuación turbulenta en el campo de flujo promedio.

Para poder resolver las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas es necesario conocer como se relacionan estas tensiones turbulentas con las variables de flujo. A la relación matemática esta relación entre , y se conoce como modelo de turbulencia. Es en esta modelación, donde se investiga actualmente, es donde reside la dificultad de resolver el flujo turbulento. Los modelos que se han propuesto son semiempíricos y no son universales entre ellos se podían citar el modelo de longitud de mezcla de Prandtl, el modelo k-e y el modelo k-e realizable.

Resolución en régimen turbulento del flujo estacionario, incompresible y completamente desarrollado en una tubería de sección circular

REGIMEN LAMINAR

En régimen laminar para este flujo se obtiene una relación entre el caudal q que circula por la tubería y la diferencia de altura piezométrica entre sus extremos mediante la integración de las ecuaciones diferenciales que permiten la obtención del perfil de velocidades para posteriormente hallar el caudal. Siendo Z la dirección del flujo la ecuación de la cantidad de movimiento queda como:

(8)

Que puede integrarse:

(9)

La constante C debe ser cero para que la tensión cortante en r=0 tome un valor finito.

(10)

En el caso de flujo laminar se cumple que:

(11)

Sustituyendo en

(12)

Integrando esta ecuación diferencial:

(13)

La constante de integración se obtiene por medio de la condición de contorno:

(14)

Donde el perfil de velocidades queda como:

(15)

El perfil de velocidades en régimen laminar es un paraboloide. El valor máximo de la velocidad se produce en r=0 y vale:

(16)

Ahora para obtener la relación entre el caudal y la diferencia de alturas piezométricas entre los extremos de una tubería se integra el perfil de velocidades:

(17)

(18)

Integrando esta ecuación diferencial se obtiene:

(19)

O en función de la velocidad media:

(20)

Esta relación indica que en régimen laminar la caida de altura piezométrica en una tubería es proporcional a la velocidad.

REGIMEN TURBULENTO

En régimen turbulento no es posible, al menos de forma directa, hallar el perfil de velocidades mediante la integración de las ecuaciones diferenciales. Para hallar entonces la relación entre la caida de altura piezométrica y el caudal se partirá la ecuación (10) que nos da la distribución de tensiones cortantes en la tubería. De aquí se obtiene una relación entre la diferencia de alturas piezométricas y el esfuerzo cortante en la pared tW:

(21)

La experiencia demuestra que el esfuerzo cortante en la pared de un conducto es función de:

(22)

Mediante el análisis dimensional se obtiene que:

(23)

Al parámetro adimensional que contiene al esfuerzo cortante en la pared se le denomina factor de fricción:

(24)

quedando la ecuación (22) como:

(25)

(26)

Esta ecuación conocida como ecuación de DARCY-WEISBACH es válida tanto para régimen laminar como turbulento. En régimen laminar el valor de f se obtiene de forma analítica a partir del perfil de velocidades. La ecuación (20) se puede volver a escribir:

(27)

En régimen laminar en tuberías (Re<2300) la relación entre el factor de fricción y el número de Reynolds es:

(28)

De la ecuación (26) se obtiene que en régimen laminar el factor de fricción no depende de la rugosidad relativa de la tubería (e/D).

En régimen turbulento la relación entre f y Re y e/D ha sido objeto de muchos estudios teórico experimentales. Los resultados se presentan en el diagrama de Moody.

PERFIL DE VELOCIDADES EN RÉGIMEN TURBULENTO

Como se ha comprobado en la obtención de la ecuación (25) no se han integrado las ecuaciones diferenciales del flujo para obtener el perfil de velocidades. En el caso de régimen turbulento la obtención del perfil de velocidades es algo complicada. En ciertas ocasiones el perfil se aproxima por una ley de potencia de la forma:

(29)

Donde n vale:

(30)

Siendo k una cosntante de valor de 0.41

Integrando la ecuación (29 ) se obtiene:

(31)

(29)


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